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Théorie des ensembles

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Détails sur le produit

Broché: 356 pages

Editeur : Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K; Édition : Reimpression inchangee de l'edition de 1970 (22 février 2009)

Collection : Éléments de mathématiques

Langue : Français

ISBN-10: 9783540340348

ISBN-13: 978-3540340348

ASIN: 3540340343

Dimensions du produit:

15,5 x 2 x 23,5 cm

Moyenne des commentaires client :

4.1 étoiles sur 5

5 commentaires client

Classement des meilleures ventes d'Amazon:

256.320 en Livres (Voir les 100 premiers en Livres)

descriptions des mathématiques de baseThéorie des ensembles traitée avec les rigueurs par des mathématiciens sous le nom Nicolas Bourbaki

La livraison est impeccable: livre en parfait état.A recommander à quiconque veut débuter les maths "formelles".A noter cependant un certain cryptisme et une vision un peu dépassée de ce que sont les fondements des mathématiques.

Je rejoins ici le jugement toujours très averti voire professionnel du nommé Henri Bourlès, sur les ouvrages de Bourbaki.Oui, il s'agit sans doute, dans ce livre consacré à la théorie des ensembles, du moins bon témoignage de Bourbaki mais aussi cela sonne comme leur orientation pour la suite. "On ne peut pas dire que la logique soit le point fort de Nicolas Bourbaki" nous dit le logicien Cori dans "Logique mathématique" (et cette remarque fut relevée par Roger Godement dans un de ses livres d'analyse parus chez Springer), et nous tenons ce défaut en France d'un enracinement dans la tradition héritée de Descartes, c'est-à -dire cartésienne, qui méprise la logique, chose inverse dans le monde anglo-saxon où la logique sert de méthode jusque dans la philosophie dite analytique, en opposition à la philosophie continentale orientée vers la phénoménologie.Pourtant, dès que nous faisons aujourd'hui de la logique, nous faisons des mathématiques. Citer Krivine, c'est citer aussi le logicien Krivine et le coauteur d'une "logique mathématique" avec Kreisel, ainsi que l'un des promoteurs du lien entre maths et informatique, via le lambda-calcul. Nous ne pouvons pas continuer en France à ignorer ainsi jusqu'au conservatisme intellectuel les développements de la logique mathématique, en particulier depuis Gentzen puis les années 50. Seuls 2 lieux universitaires dans notre pays comportent une formation en Logique pour elle-même, encore qu'à la Sorbonne la logique est associée à une solide formation en philosophie. Ensuite il y a le parcours de Master à la fac de sciences à Paris : logique mathématique et fondements de l'informatique.La théorie des ensembles soulève la question de l'infini et est un des grands modules de l'enseignement de la logique. Auprès de la théorie de la démonstration, des logiques classiques et des LNC (logiques non classiques), de la théorie des modèles (en gros, appréhender les mathématiques dans leur globalité comme un objet), à quoi l'on rajoute bien-sûr les théorèmes de Gödel, l'indécidabilité, l'incomplétude, et aussi la complexité, ainsi que la correspondance Curry-Howard. En rester à Hilbert ou le prolonger, évoquer l'axiomatisation des ensembles, les théorèmes de Zermelo-Frænkel, fort bien, mais il eût fallu insérer la théorie des ensembles dans une vue plus ample qui intègre la logique et l'identifie non pas comme une partie des maths, mais comme mathématique (en lui laissant son champ de possibles, comme par exemple avec cette logique dite "interne", anti-fregéenne, qui est une arithmétisation de la logique) ; cela reviendrait à dire qu'à chaque fois que l'on fait des maths, on fait de la logique ; mais on sait que l'orientation de Bourbaki est toute autre, et malgré la grandeur des autres traités de maths de la part de cette communauté, comme au sujet des espaces vectoriels topologiques, ou encore des passionnants et ardus documents sur les groupes et algèbres de Lie, on ne peut que déplorer un entêtement toujours actuel à négliger la logique mathématique jusqu'à l'incohérence ministériel, surtout à notre époque de floraison DES logiques et de l'intelligence artificielle. C'est donc toute une mentalité française éducative et gouvernementale également, qui est concernée là , et pas seulement le conservatisme français héritier de Descartes ou de Platon, et résolument anti-aristotélicien et anti-leibnizien, ou anti-bolzano, par exemple.

C'est probablement le livre le plus difficile à lire de N. Bourbaki. C'est un bon exposé de la théorie du "point de vue formaliste" des ensembles tel que pouvait l'envisager Hilbert... à la fin des années 1930. L'axiome du choix se déduit de l'opération (petit tau) de Hilbert (on trouve un exposé plus simple de cette opération dans les premières pages du "Cours d'algèbre" de Godement, qui présente du reste un exposé concis et suffisant de toute la théorie élémentaire des ensembles). Le théorème de Zemelo et le Lemme de Zorn en dont déduits. Le théorème de Gödel et le problème de non-contradiction ne sont qu'évoqués, assez brièvement (si ce n'est cavalièrement) dans les Notes historiques. Le lecteur qui s'intéresse aux problèmes de complétude, de non décidabilité, etc., pourra consulter le livre "Théorie des ensembles" de J.L. Krivine, mais ce n'est pas dans Bourbaki qu'il en trouvera un exposé sérieux.Un autre défaut du livre est le chapitre IV sur les structures. Cette partie est extrêmement lourde, et surtout passe complètement à côté de la théorie des catégories. Cette dernière aurait certes mérité un livre entier du Traité. Néanmoins, les bases catégoriques indispensables auraient dû, à mon avis, figurer en lieu et place de l'exposé sur les "structures". L'absence totale de la notion de catégorie (donc de celle de foncteur) "plombe" la suite du traité, ou en tout cas oblige à des contorsions pénibles pour éviter (pas toujours d'ailleurs) d'utiliser le langage si naturel des catégories. Le livre sur les EVT fait abondamment appel à la notion de "morphisme strict" (autrefois appelé "homomorphisme"). A quoi est dû ce changement de terminologie, sinon (dans le non-dit) le fait que la théorie des catégories a définitivement pris le pas sur l'approche "structuraliste" bourbachique? Et quelle peut être la signification profonde de ce vocable "morphisme strict" pour quiconque ignore tout des catégories (et le fait que la catégorie des EVT est additive mais non abélienne)? De même, le Chapitre X du livre d'Algèbre (Algèbre homologique) souffre cruellement de ce manque qui oblige à restreindre le cadre à celui des modules.Un autre choix était possible, tel celui fait par MacLane et Birkhoff dans leur livre (remarquable et accessible au débutant) "Algebra".Ceci n'est pas une condamnation du Traité de Bourbaki, qu'il semble de bon ton de dénigrer aujourd'hui. Bien au contraire: ce Traité est le monument construit par le Groupe Bourbaki qui est à l'origine de l'extraordinaire efflorescence des mathématiques françaises d'après-guerre. Dans son ensemble, le Traité reste une référence incontournable et le sera encore probablement longtemps. Mais le parti pris de Bourbaki d'ignorer les problèmes de logique et les catégories est en quelque sorte le "péché originel" dans le Traité.

Ce livre est le premier de la série des "Eléments de Mathématiques"; il commence par décrire la mathématique formelle, ensuite la théroie des ensembles, puis les ensembles ordonnés, cardinaux, des nombres entiers, enfin les structures et isomorphismes et autres morphismes. Comme tous les ouvrages du groupe Bourbaki, celui-ci ne déroge pas à la règle et est donc extrêmement abstrait ; ce n'est donc pas un ouvrage pour débutants en mathématiques : Le style Bourbaki est très âpre ! Néanmoins si vous vous sentez motivé, c'est dans cet ouvrage que vous trouverez la première définition "sérieuse" et la vulgarisation des quantificateurs "pour tout" et "il existe", l'utilisation systématique des opérateurs "implique" et autre en logique, les "structures", etc... De plus, tous les théorèmes sont démontrés ! Ce traité est donc auto-suffisant. Contient des exercices et quelques notes historiques.

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